Seminarul Ştiinţific al Catedrei de Algebră şi Geometrie  
Math - Index | Prezentare | Sem. 1 | Sem. 2

Scurtă prezentare





Seminarul Ştiinţific al Catedrei de Algebră şi Geometrie functionează în anul universitar 2004/2005 în două secţiuni:

Secţiunea I. În sedinţele acestei secţiuni se vor ţine conferinţe asupra unor teme cu caracter mai larg, în care se vor pune în evidenţă rezultate importante cunoscute şi direcţii recente de cercetare. Conferinţele vor fi prezentate de cercetători experimentaţi din catedră şi din Bucuresti, precum şi de doctoranzi care îşi finalizează teza. Sedinţele se vor desfăşura din două în două săptămâni începand cu 15 octombrie.

Secţiunea II. În sedinţele acestei secţiuni încercăm să reînviem o tradiţie a seminariilor de algebră şi geometrie din facultate şi anume aceea de a studia o carte de referinţă într-un domeniu recent de cercetare care să intereseze cât mai mulţi profesori ai catedrei. Pentru acest an universitar ne propunem să studiem cartea Groebner Bases and Convex Polytopes, de B. Sturmfels. Cartea a apărut în anul 1996, în AMS University lecture series, vol. 8. (Sedinţele se vor desfăşura din două în două săptămâni începând cu 22 Octombrie.)

Prezentăm în continuare, pe scurt, motivaţia acestei alegeri:

Rezolvarea sistemelor de ecuaţii polinomiale este una din problemele clasice ale matematicii. Astăzi modelele polinomiale sunt omniprezente şi au o largă aplicaţie în toate ştiinţele. Ele apar în optimizare, robotică, teoria codurilor, informatică, biomatematică, teoria jocurilor, statistică, etc. Mulţimea soluţiilor unui sistem de ecuaţii polinomiale este o varietate algebrică, obiectul de bază al geometriei algebrice. Studiul algoritmic al varietăţilor algebrice este tema centrală a algebrei şi geometriei computaţionale. Progresele recente spectaculoase în algebra simbolică şi software-ul pentru calcule geometrice au revoluţionat domeniul făcând posibilă rezolvarea unor probleme până nu de mult inaccesibile şi furnizând o bază fertilă pentru experimente şi conjecturi.

Teoria bazelor Groebner constituie baza multor algoritmi în algebra comutativă şi geometria algebrică, algoritmul Buchberger acţionând ca un motor ce conduce calculul simbolic. Graţie unor monografii de bază datorate autorilor Becker, Weispfenning (1993), Cox, Little, O’Shea (1992) şi Eisenbud (1995), bazele Groebner au intrat în programul de studiu al multor universităţi din Europa şi Statele Unite.
Având în vedere multitudinea problemelor modelate cu ajutorul ecuaţiilor polinomiale, acest subiect este de interes nu numai pentru matematicieni, ci şi pentru cercetători din alte domenii : inginerie, economie, etc. Natura interdisciplinară a bazelor Groebner se reflectă în aplicaţii interesante în programarea întreaga şi în statistică.



Reproducem abstractul cărţii:

This book is about the interplay of computational commutative algebra and the theory of convex polytopes. A central theme is the study of toric ideals and their applications in integer programming. This book is aimed at graduate students in mathematics, computer science, and theoretical operations research.

Cartea are 14 capitole:
1.Groebner Basics;
2. The State Polytope;
3. Variation of Term Orders;
4. Toric Ideals;
5. Enumeration, Sampling and Integer Programming;
6. Primitive Partition Identities;
7. Universal Groebner Bases;
8. Regular Triangulations;
9. The Second Hypersimplex;
10. A-graded Algebras;
11. Canonical Subalgebra Bases;
12. Generators, Betti Numbers and Localizations;
13. Toric Varieties in Algebraic Geometry;
14. Some Specific Groebner Bases.